[Geometry] 평면과 직선의 교점 구하기

[고찰 1]
S와 E는 서로 평면의 반대편에 있어야 교점이 존재하게 됩니다.
교점 C는 직선의 방정식인 $S + t*(E - S)$로 표현됩니다.
또한 C는 평면 상의 점이 되므로 $\vec{N}*C + d = 0$을 만족합니다.
첫번째 식을 두번째 식에 대입하면,$\begin{eqnarray} \vec{N}*S + t*\vec{N}*(E-S) + d = 0 \\ t = -(\vec{N}*S + d)/(\vec{N}*(E-S)) \end{eqnarray}$이 됩니다.
이렇게 해서 $t$를 구할 수 있습니다.
$t$를 구한 다음 당연히 교점 C를 구할 수 있습니다.
 

 

[고찰 2]

평면의 방정식이 $a·x + b·y + c·z + d = 0$ 인 평면과 (A , B , C)를 지나고 기울기가 $<dx , dy , dz>$인 직선과의 교점을 P라고 하면,

교점 P는 평면의 방정식을 만족시키고 또한 직선의 식도 만족시키게 됩니다.

직선의 식에 대입하면,

$\begin{eqnarray}P(t) = <dx , dy , dz> * t + (A , B , C)\end{eqnarray}$

따라서 P를 평면의 방정식에 대입하면,

$\begin{eqnarray}aP(t)_x + bP(t)_y + cP(t)_z + d = 0\end{eqnarray}$

위 두개의 식을 풀이하면,

$\begin{eqnarray} a*d_x*t + a*A + b*d_y*t + b*B + c*d_z*t + c*C +d = 0 \\ t(a*d_x + b*d_y + c*d_z) + a*A + b*B + c*C + d = 0 \\ t = -(a*A + b*B + c*C + d) / (a*d_x + b*d_y + c*d_z) \end{eqnarray}$

가 됩니다.

 

위와 같이 매개 변수 $t$를 구할 수 있습니다.

$t$를 $(3)$에 대입하여 교점 P를 구할 수 있습니다.