임의의 축에 대한 회전 #2

임의의 축에 대한 회전에 대한 2번째입니다.
첫번째 보다 간단합니다.

그림에서처럼 임의의 축 $\vec{n}$에 대해서 $\vec{r}$이 가리키는 점을 $\theta$만큼 회전을 시키는 경우를 생각해봅시다.
$\vec{r}$은 $\vec{n}$ 수직인 성분($\vec{r_+}$)과 평행한 성분($\vec{r_{//}}$)으로 나눌 수 있습니다.
평행한 성분은 $\vec{r}$에 대해서 회전을 한 뒤에도 그 값이 변하지 않습니다.
$$r_{//} = \big( \vec{n}\cdot\vec{r} \big) \vec{n} \\ r_+ = \vec{r} - \big( \vec{r}\cdot\vec{n} \big) \vec{n}$$
$\vec{r_+}$에 수직이고 또한 $\vec{r_{//}}$에 수직인 벡터를 $\vec{V}$라 두고, $\vec{r_+}$의 $\vec{n}$에 대한 회전은,
$$\vec{V} = \vec{n}\times\vec{r_+} = \vec{n}\times\vec{r} \\ R_{r_+} = cos(\theta)r_+ + sin(\theta)\vec{V}$$ 이 됩니다.
($r_+$를 X축, $\vec{V}$를 Y축으로 생각하시면 됩니다.)

이제 $\vec{r}$의 $\vec{n}$에 대한 회전은,
$$\begin{aligned} R_{r_+} &= R_{r_{//}} + R_{r_+} \\ &= (\vec{n}\cdot\vec{r})\vec{n} + cos(\theta)r_+ + sin(\theta)\vec{V} \\ &= cos(\theta)\vec{r} + \big( 1 - cos(\theta)\big) \vec{n}(\vec{n}\cdot\vec{r}) + sin(\theta)\vec{n}\times\vec{r} \end{aligned}$$ 이 됩니다.

단, 여기서 $\vec{n}$은 단위 벡터입니다.