예를 들어가며 B-spline basis function의 형태를 살펴보도록 하겠습니다.
{0 , 1 , 2 , 3}일 때 차수를 0에서 2까지 증가시키면서 basis function을 나타내었습니다.
차수가 0일 때는 basis function의 정의에 의해서 step function이 됩니다.
i가 0일 때는 [0,1)에서 1이 되고 나머지에서는 0이 됩니다.
1일 때는 [1,2)구간에서 1이 되고 나머지에서는 0이 됩니다.
2일 때는 [2,3)에서 1이 되고 나머지 구간에서는 0이 됩니다.
차수가 0이었을 때 하나의 basis function이 유효한 구간의 크기는 1이었지만 차수가 1일 때는 구간의 크기가 2가 됩니다.
$$ \begin{aligned} N_{0,1}(t)&=\frac{u-u_0}{u_1-u_0}N_{0,0}(u)+\frac{u_2-u}{u_2-u_1}N_{1,0}(u)\\ &=uN_{0,0}(u)+(2-u)N_{1,0}(u)\\ N_{1,1}(t)&=\frac{u-u_1}{u_2-u_1}N_{1,0}(u)+\frac{u_3-u}{u_3-u_2}N_{2,0}(u)\\ &=(u-1)N_{1,0}(u)+(2-u)N_{2,1}(u) \end{aligned} $$ $N_{0,1}(u)$는 $N_{0,0}(u),N_{1,0}(u)$의 합으로 구성되기 때문에 그 값이 [0,2)에서는0보다 크거나 같고 그 이외의 구간에서는 0이 됩니다.
이와 같은 이유로 해서 $N_{1,1}(u)$는 $[1,3)$에서는 0보다 크거나 같고 나머지 구간에서는 0이 됩니다.
$$
\begin{aligned}
N_{0,2}(u)&=\frac{u-u_0}{u_2-u_0}N_{0,1}(u)+\frac{u_3-u}{u_3-u_1}(u)\\
&=0.5\times u \times N_{0,1}u + 0.5\times(3 - u)N_{1,1}(u)
\end{aligned}
$$
$N_{0,2}(u)$는 $N_{0,1}(u),N_{1,1}(u)$의 합으로 이루어집니다.
$N_{0,1}(u)$는 $[0,2)$에서 0이 아니고 $N_{1,1}(u)$은 $[1,3)$에서 0이 아니기 때문에
최종적으로 $N_{0,2}(u)$는 $[0,3)$에서의 구간에서 0이 아닙니다.
{0 , 1 , 2 , 3}일 때 차수를 0에서 2까지 증가시키면서 basis function을 나타내었습니다.
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| <차수가 0일 경우> |
i가 0일 때는 [0,1)에서 1이 되고 나머지에서는 0이 됩니다.
1일 때는 [1,2)구간에서 1이 되고 나머지에서는 0이 됩니다.
2일 때는 [2,3)에서 1이 되고 나머지 구간에서는 0이 됩니다.
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| <차수가 1일 경우> |
$$ \begin{aligned} N_{0,1}(t)&=\frac{u-u_0}{u_1-u_0}N_{0,0}(u)+\frac{u_2-u}{u_2-u_1}N_{1,0}(u)\\ &=uN_{0,0}(u)+(2-u)N_{1,0}(u)\\ N_{1,1}(t)&=\frac{u-u_1}{u_2-u_1}N_{1,0}(u)+\frac{u_3-u}{u_3-u_2}N_{2,0}(u)\\ &=(u-1)N_{1,0}(u)+(2-u)N_{2,1}(u) \end{aligned} $$ $N_{0,1}(u)$는 $N_{0,0}(u),N_{1,0}(u)$의 합으로 구성되기 때문에 그 값이 [0,2)에서는0보다 크거나 같고 그 이외의 구간에서는 0이 됩니다.
이와 같은 이유로 해서 $N_{1,1}(u)$는 $[1,3)$에서는 0보다 크거나 같고 나머지 구간에서는 0이 됩니다.
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| <차수가 2일 경우> |
$N_{0,1}(u)$는 $[0,2)$에서 0이 아니고 $N_{1,1}(u)$은 $[1,3)$에서 0이 아니기 때문에
최종적으로 $N_{0,2}(u)$는 $[0,3)$에서의 구간에서 0이 아닙니다.
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