7.닮음의 응용(2) 삼각형의 중점연결 정리와 무게중심

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삼각형의 중점연결 정리

다음 그림의 에서 M, N이 각각 변 AB, AC의 중점이면 또, 에서 변 AB의 중점 M을 지나고, 변 BC에 평행한 직선과 변 AC와의 교점을 N이라고 하면 N은 의 중점이다. 즉 ◀◀ 보기 (1) 다음 그림에서 점 M, N, P, Q는 각각 의 중점이다. 일 때, 의 길이를 구하여 보자. 에서 에서 (2) 다음 그림의 에서 점 M, P, N은 각각 변 AB, BC, CA의 중점일 때, 의 둘레의 길이를 구하여 보자. M, N이 변 AB, AC의 중점이므로 M, P가 변 AB, BC의 중점이므로 N, P가 변 AC, BC의 중점이므로 ∴ ( 의 둘레의 길이) (3) 다음 그림의 에서 의 중점 M를 지나 변 BC에 평행하게 선분 MN을 그었을 때, 의 값을 구하여 보자. 이므로 (4) 다음 그림의 에서 이고, 세 변의 중점을 각각 D, E, F라 할 때, 의 세 변의 길이를 구하여 보자. 의 세 꼭지점 D, E, F는 각각 의 세 변 AB, BC, CA의 중점이다. 따라서 의 세 변 DE, EF, DF의 길이는 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 각각 (5) 다음 그림과 같은 사다리꼴 ABCD에서 의 중점을 각각 M, N이라고 할 때, 의 길이를 구하여 보자. (6) 다음 그림과 같이 의 변 AB의 A쪽 연장선 위에 인 점 D를 잡고, D와 의 중점 M을 지나는 직선이 와 만나는 점을 E라고 했을 때, 의 길이를 구하여 보자. 점 A를 지나 에 평행한 직선을 그어 와의 교점을 F라 하면 또, 이므로

사다리꼴의 중점연결 정리

다음 그림과 같은 사다리꼴 ABCD에서 점 M, N이 각각 변 AB, CD의 중점일 때 이다. ◀◀ 보기 (1) 다음 그림의 사다리꼴 ABCD에서 이고, 변 AB와 CD의 중점을 각각 M, N이라고 할 때, 의 값을 구하여 보자. 이므로 (2) 다음 그림과 같이 인 사다리꼴 ABCD에서 의 중점을 각각 E, F라 할 때, 의 길이를 구하여 보자. (3) 다음 그림의 사다리꼴 ABCD에서 이다. 두 변 AB, CD의 중점을 각각 E, F라고 할 때, 의 값을 구하여 보자.

삼각형의 중점연결 정리의 활용 (사각형에서의 중점연결 정리의 적용)

삼각형의 중점연결 정리에 의하여 사각형의 각 변의 중점을 차례로 이어 만든 도형의 모양을 알 수 있다. 예를 들어 다음 그림의 에서 각 변의 중점을 각각 E, F, G, H라고 할 때, 이고 이므로 는 평행사변형이다. ◀◀ 보기 (1) 직사각형의 각 변의 중점을 차례로 이어서 만든 사각형은 어떤 사각형인지 알아보자. 다음 그림의 직사각형 ABCD에서 대각선 AC를 그으면 와 에서 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 ㉮ 한편, 대각선 BD를 그으면 와 에서 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 ㉯ 그런데, 는 직사각형이므로 ㉰ ㉮, ㉯, ㉰에 의하여 따라서 네 변의 길이가 모두 같으므로 는 마름모이다. (2) 다음 그림의 직사각형 ABCD에서 각 변의 중점을 각각 P, Q, R, S라고 하자. 대각선 AC의 길이가 6cm일 때, 각 변의 중점을 차례로 이어서 만든 의 둘레의 길이를 구하여 보자. 에서 P, Q가 두 변 의 중점이므로 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 ㉮ 마찬가지로, ㉯ 또, 대각선 BD를 그으면 에서 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 ㉰ 마찬가지로, ㉱ 그런데, 가 직사각형이므로 ㉮~㉱에서 ∴ ( 의 둘레의 길이)=3×4=12(cm) (3) 다음 그림과 같은 에서 의 중점을 각각 P, Q, R, S라 하고 일 때, 의 둘레의 길이를 구하여 보자. ∴ ( 의 둘레의 길이)=2(3+4)=14(cm) (4) 다음 그림의 평행사변형 ABCD의 각 변의 중점을 각각 E, F, G, H라 할 때 를 구하여 보자. 와 에서 ㉮ (동위각) (엇각) …… ㉯ , 는 평행사변형이므로 (대각) ㉰ ㉮, ㉯, ㉰에서 ㉱ 그런데 에서 중점연결 정리에 의해 ㉲ 에서 이므로 ㉳ ㉱, ㉲, ㉳에서

중선의 성질

삼각형에서 꼭지점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라고 한다. 다음 그림에서 는 의 중선이고 삼각형에서 중선은 3개이다. 삼각형의 한 중선은 그 삼각형의 넓이를 어떻게 나누는지 알아보자. 다음 그림에서 는 의 중선이라고 하자. 이 때, 꼭지점 A에서 에 내린 수선의 발을 H라 하고, 와 의 넓이를 각각 구하면 그런데 는 의 중선이므로 이다. 따라서 삼각형의 한 중선은 그 넓이를 이등분한다. ◀◀ 보기 (1) 다음 그림에서 는 의 중선이고 이다. 이 때 의 넓이를 구하여 보자. 이므로 (2) 다음 그림에서 는 의 중선이고 이다. 이 때 의 넓이를 구하여 보자. (3) 다음 그림에서 은 의 중선이고 점 P는 의 중점이다. 의 넓이가 4㎠일 때, 의 넓이를 구하여 보자. 가 의 중선이므로 또, 이 의 중선이므로 (4) 다음 그림에서 는 의 중선이다. 일 때, 의 넓이를 구하여 보자. (5) 다음 그림에서 는 의 중선이다. 일 때, 의 넓이를 구하여 보자.

삼각형의 무게중심

세 중선이 한 점에서 만남을 알아보자. 다음 그림의 삼각형 ABC에서 중선 BE와 CF의 교점을 G라 하고, 두 점 E, F를 잇는 선분을 그어 보자. 점 E, F는 각각 의 중점이므로, 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 이다. 따라서 ∽ 이고, 그 닮음비는 2:1이다. 즉, 이므로 점 G는 중선 BE, CF를 각 꼭지점으로부터 2:1로 나누는 점이다. 한편, 삼각형 ABC에서 두 중선 BE와 AD의 교점을 이라 하고, 두 점 D, E를 잇는 선분을 그어 보면 이 된다. 즉, 점 은 두 중선 BE와 AD를 각 꼭지점으로부터 2:1로 나누는 점이다. 여기에서 점 G와 은 모두 중선 BE를 2:1로 나누는 점임을 알 수 있다. 따라서 점 G와 은 일치한다. 그러므로 삼각형 ABC에서 세 중선은 한 점 G에서 만난다. 이와 같은 점 G를 삼각형 ABC의 무게중심이라고 한다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 삼각형의 세 중선은 한 점(무게중심)에서 만나고, 이 점은 세 중선의 길이를 꼭지점으로부터 각각 2:1로 나눈다. ◀◀ 보기 (1) 다음 그림에서 두 점 G, 은 각각 와 의 무게중심이고 일 때, 의 길이를 구하여 보자. 에서 에서 (2) 평행사변형 ABCD의 변 CD의 중점을 와 와의 교점을 각각 O, E라 하고, 일 때, 의 길이를 구하여 보자. 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 또 점 E는 의 무게중심이므로 (3) 다음 그림에서 점 G는 의 무게중심이고, 점 D, E, F는 각각 의 중점이다. 일 때, 의 길이를 구하여 보자. 에서 이므로 삼각형의 중점연결 정리에 의하여 (4) 다음 그림에서 선분 AD는 의 중선이고, 점 G, 은 각각 와 의 무게중심이다. 일 때, 의 길이를 구하여 보자. 점 G는 의 무게중심이므로 또 점 은 의 무게중심이므로 (5) 다음 그림에서 점 G는 의 무게중심이다. 일 때, 의 길이를 구하여 보자. 에서 D, F는 각각 의 중점이므로 그런데 점 G는 의 무게중심이므로