3D 평면 상의 점들을 2D로 변환

3D 평면상의 점들을 2D로 변환하는 방법에 대해서 알아보도록 하자.
지금 개발하고 있는 2D상의 점들을 삼각화 시키는 루틴이 있는데 이 루틴을 3D 평면상의 점들에 대해서 적용시키기 위해서
3D 평면상의 점들을 2D로 변환시키는 방법이 필요하다.

고찰 1)

3D 평면을 X-Y 평면으로 맞추는 것이다.
3D 평면의 법선 벡터(n)를 Z축과 일치시키기 위해서 X,Y 축 방향으로 회전시키는 방법이다.
이 방법에 대해서는 이전 글을 참조 하면 될것 같다.

고찰 2)

이 글에서 주로 생각해 볼것은 실제로 평면을 회전시키지 않고 2D 상으로 변환시키는 방법이다.
앞서 이야기 했듯이 이미 평면의 법선 벡터(n)를 알고 있으므로,
평면상의 임의의 점(P)을 하나 선택하고 그리고 다른 또 하나의 점을 선택한다.
그럼 하나의 벡터(u)를 구할 수 있고 이 벡터와 평면의 법선 벡터와의 외적을 통해 구한 벡터와 평면상에서 수직인 또 다른 벡터(v)를 구할 수 있다.
여기서 구한 평면상의 두 벡터(u,v)를 축으로 하여 평면상의 모든 점들을 u,v축에 대한 값으로 표현할 수 있다.

이렇게 해서 $t_2$의 값을 구할 수 있고, 마찬가지로 $t_1$의 값을 구할 수 있다.
결론적으로 모든 점들에 대하여 u,v 축에 대한 값을 구할수 있으므로 2D로 변환한 것이 된다.

고찰 2)가 고찰 1)보다 나은 점은 고찰 1)에서는 실제적으로 몇 단계의 계산을 거쳐 2D 상의 점으로 변환시킨다는 것이다.
이때 아무래도 시간과 floating point연산으로 인한 데이터 변형이 일어날수 있다는 것이다.
이에 비해 고찰 2)는 변화 루틴이 간단하다.