Bspline Knot의 수정

앞에서 B- spline곡선은 여러 개의 부분 곡선들로 이루어져 있고, 각 부분 곡선들은 매듭 구간에서 정의되고 있다고 했습니다.

그래서 부분 곡선들이 정의되어 있는 이 매듭 구간을 수정을 하면 곡선의 형태도 바뀌게 됩니다.

이 매듭 구간을 결정하는 knot을 수정함으로써 곡선의 형태를 변형시킬 수 있습니다.

하지만 knot을 수정해서 곡선의 형태를 바꾸는 것은 그다지 바람직한 방법이 아닌 것 같습니다.

knot을 수정해서 변형되는 곡선의 형태를 미리 예측하기가 힘들기 때문입니다.

knot의 추가

knot의 추가는 기존의 곡선의 형태를 변형시키지 않고 새로운 knot을 매듭 벡터에 추가시키는 것입니다.
knot이 하나 추가되면 m이 증가되므로 $m=n+p+1$의 식에서 n이나 p가 증가되어야 합니다.
p가 증가되면 하나의 부분 곡선을 이루는데 필요한 basis function의 개수가 증가되므로 p가 증가되기 전보다 곡선의 부분적인 편집 기능이 떨어지게 됩니다.
그래서 이것은 고려하지 않고 n을 증가시킵니다.
즉 새로운 제어점을 추가시킨다는 말입니다.

다시 정리하면 n+1개의 제어점 $P_0,P_1,...,P_{n-1},P_n$와 그것과 연관된 양의 값인 $W_i$, $m+1$개의 매듭을 가진 매듭 벡터 $U=\{u_0,u_1,...,u_{m-1},u_m\}$, 차수 p를 가진 B-spline 곡선에 곡선의 형태는 변형시키지 않고 새로운 매듭을 추가시키는 것입니다.

추가시킬 새로운 매듭 u가 매듭 구간 $[u_k,u_{k-1})$에 속한다고 가정하면,
이 매듭 구간에서 정의되는 곡선은 제어점 $P_{k-p},P_{k-p+1},...,P_{k-1},P_k$에 의해서 형성됩니다.

우리는 새로운 제어점을 찾아야 하기 때문에 $P_{k-p},P_{k-p+1}$상의 $Q_{k-p+1}, P_{k-p+1},P_{k-p+2}$상의 $Q_{k-p+2},…,P_{k-1},P_k$상의 $Q_k$을 찾아야 합니다.
그리고 나서 기존의 $P_{k-p},P_{k-p+1},...,P_{k-1},P_k$을 $P_{k-p},Q_{k-p+1},...,Q_{k-1},Q_k,P_k$로 바꿉니다.
물론 $P_{k-p},P_{k-p+1},...,P_{k-1},P_k$ 이외의 제어점들은 바뀌지 않습니다.